Rozklad na součin podle vzorců

Toto učivo se u přijímaček 2027 nezkouší. Specifikace požadavků Cermatu rozklad dvojčlenu na součin pomocí vzorců pro rok 2027 (stačí umět rozkládat vytýkáním) nevyžaduje; nech si ho na dobu, kdy budeš mít zbytek učiva jistý, nebo jako přípravu na střední školu.

Algebraické vzorce fungují oběma směry. Zleva doprava závorku roznásobíš, zprava doleva výraz rozložíš na součin. Když uvidíš $x^2+6x+9,$ můžeš to zapsat jako $(x+3{)}^2;$ stačí ověřit, že prostřední člen opravdu odpovídá dvojnásobku součinu $(2\cdot x\cdot 3=6x).$ Podobně $x^2-10x+25=(x-5{)}^2.$

Rozdíl čtverců. Nejužitečnější je vzorec $A^2-B^2=(A-B)(A+B).$ Použijeme ho, když od sebe odečítáme dvě druhé mocniny. Například $x^2-9$ zapíšeme jako $x^2-3^2,$ což je $(x-3)(x+3).$ Funguje to i s koeficienty: $4x^2-25=(2x{)}^2-5^2=(2x-5)(2x+5).$ Naopak součet druhých mocnin $(x^2+9)$ takto rozložit nelze.

Postupuj vždy v tomto pořadí: nejdřív vytkni, co jde, a teprve potom se dívej po vzorcích. U výrazu $2x^2-18$ nejdřív vytkneme dvojku: $2(x^2-9).$ V závorce teď vidíme rozdíl čtverců, takže pokračujeme: $2(x-3)(x+3).$ Rozkládat se má až do konce, dokud to jde.

K čemu to je. Rozklad na součin je nezbytný při krácení lomených výrazů: krátit smíme jen celé závorky (činitele), nikdy jednotlivé členy součtu. Výraz $\frac{x^2-9}{2x+6}$ na první pohled krátit nejde; v čitateli ale použijeme rozdíl čtverců a ve jmenovateli vytkneme dvojku, $\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)},$ a teď zkrátíme závorku $(x+3)$ na $\frac{x-3}{2}.$ Lomené výrazy ani tohle krácení se u přijímaček 2027 nezkouší, na střední škole je ale potkáš hned v prvním ročníku.